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30 Marzo

Gran día para las matemáticas: La primera obra maestra de Gauss

Por Bernardo Herradón

30 de marzo de 1796, un joven de 18 años se levanta de la cama pensando que tiene un método para construir un polígono regular de 17 lados (el heptadecágono) de manera euclídea, es decir usando regla y compás.

Ese joven era Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Lo primero que hizo Gauss esa mañana fue dar una demostración aritmético-algebraica de como se podía construir ese polígono regular. Y este hecho, aparentemente anecdótico, es uno de los grandes hitos de la historia de las matemáticas, en particular, y de la ciencia en general.

Y ¿por qué destaco este hecho como el más importante de la ciencia el 30 de marzo? Por tres razones:

1) Como todos sabemos, Gauss fue un genio. Casi todos los matemáticos consideran que el Olimpo de las Matemáticas lo comparten cuatro científicos: Arquímedes, Newton, Euler y Gauss (en orden cronológico). Pero el genio de Gauss podría haberse dedicado a otras actividades. Y hasta el 29 de marzo de 1796, Gauss dudaba dedicarse a algunas de sus dos grandes pasiones: la lingüística y las matemáticas. Su original y elegante demostración de la construcción del heptadecágono regular le hizo inclinarse hacia las matemáticas. Y la ciencia se lo agradece.

Las contribuciones científicas de Gauss fueron inmensas y serán objeto de un homenaje en esta web el próximo 30 de abril, conmemorando su nacimiento. A Gauss se le denominaba el Principe de las Matemáticas, por sus valiosas aportaciones a esta ciencia, pero no hay que olvidar otras geniales aportaciones al electromagnetismo, a la mecánica y a la astrofísica.

2) Aunque puede parecer esotérico esto de construir un polígono regular de 17 lados con regla y compás, hay que recordar que estos instrumentos son los únicos de los que disponían los geómetras de la antigüedad. En los tratados antiguos (y los Elementos de Euclides es la culminación) se especificaban métodos para construir polígonos de 3, 4, 5 ó 6 lados; así como sus combinaciones (por ejemplo, de 10 ó 15 lados; o los que duplicaban estos lados, por ejemplo de 20 lados); pero no había ninguna indicación para el de 11, el de 13, el de 17 o el de 19. ¿Cuales son las características de estos números? Todos son primos. Lo que hizo Gauss fue encontrar una demostración aritmético-algebraica que permitía demostrar que se podía construir el polígono de 17 lados. Y además, generalizó y demostró qué polígono regular se puede construir con regla y compás. La fórmula general que encontró Gauss fue la que se indica en el inicio de esta reseña; en la que n es el número de lados del polígono, λ es un número entero y P1....... Pk son números primos de Fermat, de la forma 22h+1, siendo h un número entero. Con esta fórmula general, sabemos que se pueden realizar construcciones euclídeas de polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17 lados; y también de los polígonos de 257 y de 65537 lados (los siguientes polígonos con un número primo de lados), pero no de 7, ni de 11 ni de 19.

La demostración del teorema de Gauss se puede leer aquí .

3) Es remarcable que un joven de 18 años fuese capaz de unir distintas áreas de las matemáticas (la geometría, la aritmética y el álgebra) en esta demostración. Poco después, en 1801 publicó Disquisitiones Arithmeticae, donde se incluye la demostración general del teorema, y que además es una de las obras cumbres de la teoría de números. La amplitud de conocimientos y diversidad de áreas de aplicación de las matemáticas de Gauss le hicieron el matemático más importante e influyente de su época.