La parca que inspira la construcción de vías seguras
Cloto —del griego Kloto, hilandera—, la menor de las tres parcas, hilaba en su rueca el hilo de la vida. En sus manos estaba el poder de decidir el momento del nacimiento de los seres humanos e incluso el de los dioses. El hilo empieza con un radio de curvatura infinito (una recta), y a medida que se va enrollando en la rueca trazando una espiral va disminuyendo hasta alcanzar el radio cero.
Las parcas, diosas que controlaban el hilo de la vida de los mortales. Créditos: sin localizar.
Acudimos a esta divinidad, en cuyas manos se teje el destino humano, al nombrar una de las curvas más usadas para desarrollar los trazados curvos en las carreteras y líneas férreas.
Madrid, belt 1
Casi nadie se libra de la experiencia, a veces vivida con prisa, de la espera en la sala de recogida de maletas en el aeropuerto donde una de las cintas transportadoras entregará sus pertenencias a los viajeros por la enorme boca de la que lentamente suelen ir saliendo una a una. A pesar de que resulte aburrida para el usuario, se trata de la culminación de un proceso bien sistematizado y efectivo.
Ejemplo de cintas transportadoras de terminal aeroportuaria. Créditos: Youtube.
Los procesos tecnológicos bien coordinados tienen mucho encanto, este también, aunque lo admiremos más de lejos que de cerca (cuando solo pensamos en recoger nuestro equipaje). Así es que me parece un ejercicio simpático, aunque quizás un poco obligado cuando uno se halla en una sala donde no hay otra cosa que hacer, observar la forma de esas cintas transportadoras que giran incesantemente hasta que por fin cada uno se ha hecho con aquello que esperaba. Algo que normalmente suelen disfrutarlo más los niños juguetones e inquietos.
Las cintas de los aeropuertos suelen constar básicamente de un par de tramos rectos que avanzan en dirección opuesta enlazados por semicircunferencias para unir los cambios de sentido y crear un circuito cerrado combinado de rectas y curvas.
En general, una cinta transportadora en cualquier proceso industrial desarrolla su movimiento lentamente para permitir la fácil manipulación exterior en una posición fija de los objetos que traslada.
Un viaje en tren o por carretera
¿Qué sucederá para velocidades mayores? Por fortuna, la geometría y la física se alían para realizar con suavidad los cambios de dirección en vías rápidas: así la elección combinada de las rectas y las curvas idóneas es útil para transitar sin proyectarse fuera del camino.
Para diseñar trazados en vías férreas y carreteras, aunque los ingenieros se esfuercen en diseñar un camino lo más rectilíneo posible, son inevitables los cambios de dirección y, por tanto, las curvas. Inicialmente, los tramos curvos se construían a base de arcos de circunferencia, como ocurre en las cintas transportadoras industriales poco veloces. Sin embargo, tanto los ferrocarriles como los vehículos que circulan por las carreteras comenzaron a incrementar paulatinamente su velocidad, de modo que al entrar en las curvas la impresión que percibían las personas que viajaban pasó de ser un zarandeo más o menos brusco e incómodo a resultar peligroso.
Una cinta transportadora en cualquier proceso industrial desarrolla su movimiento lentamente para permitir la fácil manipulación exterior en una posición fija de los objetos que traslada.
En las uniones entre los tramos rectos de carretera y los tramos curvos (el problema es análogo para las vías férreas), el radio de curvatura pasaba de ser un número muy grande o infinito —el de los tramos rectos (curvatura cero)—, hasta disminuir, notablemente, al radio de la circunferencia, donde la fuerza centrípeta que se origina tiene el siguiente aspecto:
Los viajeros detectan físicamente esta situación en forma de un desplazamiento bastante brusco e incluso peligroso. La fuerza centrífuga —ficticia— es el desplazamiento contra la curva que realiza el viajero porque su sistema de referencia (no inercial) le aleja del eje de rotación. Sin embargo, no hay que confundirla con la ley de acción y reacción de Newton, ya que no es una fuerza que se ejerza sobre el viajero.
El problema matemático que se plantea está en los pequeños denominadores; si el denominador es elevado el cociente resulta pequeño, pero al disminuir el denominador aumenta el valor del cociente.
Para solucionar este caso grave se pensaría en la posibilidad de disminuir la masa, es decir, hacer el medio de transporte de menor tamaño o de un material más ligero aunque resistente. También se podría plantear la opción de menguar el tamaño de sus ocupantes, aunque no parece un asunto sencillo ni muy apetecible. Tal vez también cabría la posibilidad de disminuir la velocidad (al cuadrado) que la multiplica, lo que implicaría que después de habernos roto la cabeza para conseguir mayor velocidad en los desplazamientos el movimiento volvería a ser lento.
En cuanto al denominador, ya se ha visto que el radio de curvatura en los tramos rectos es infinito (o muy grande) y no se puede cambiar. Sin embargo, es posible modificar el de las circunferencias aumentándolo bastante, pero entonces lo que sucede es que los tramos rectos acaban resultando más pequeños y eso no es demasiado interesante.
Una curva cotidiana de transición: la clotoide
En general, se denominan curvas de transición aquellas que se utilizan en los cambios de dirección de los trazados por donde deben circular vehículos y también las vías férreas de los ferrocarriles. Las curvas de transición son tramos de espiral combinados con arcos de circunferencia, así el radio de curvatura se hace variable y eso suaviza el tránsito.
Los arcos de circunferencia, al tener un radio de curvatura constante, se utilizan en el tramo aproximadamente central del cambio de dirección, mientras que tanto la salida del trazado rectilíneo como la entrada al nuevo tramo recto se sirven de arcos de curvas de radio variable. Este elemento intermedio suaviza la transición geométrica, que afecta tanto en la física del movimiento como en la percepción del mismo y en sus consecuencias para los vehículos y las personas.
Se denominan curvas de transición aquellas que se utilizan en los cambios de dirección de los trazados por donde deben circular vehículos y también las vías férreas de los ferrocarriles.
Una buena solución consistió en utilizar arcos adecuados de clotoide que enlacen con el arco de circunferencia conveniente para después unir el correspondiente fragmento de clotoide de nuevo que lleve a la recta. Este encadenamiento servirá para conseguir que el cambio de valor de la fuerza centrípeta sea gradual y se haga progresivamente, al proceder de esta manera se otorga suavidad al movimiento y el vehículo no sobrepasa el trazado. Además, la clotoide es una curva de transición relativamente cómoda de calcular.
Clotoide, también conocida como espiral de Cornu. Créditos: Inductiveload
La clotoide se emplea con mayor frecuencia en trazados de carreteras. Aunque inicialmente se empezó empleando para construir vías férreas, en la actualidad hay otras curvas cúbicas que se consideran más adecuadas tal vez porque su utilización resulta más adaptable a las necesidades de este medio de transporte.
La espiral clotoide es tangente al eje de abscisas en el origen, ahí su radio de curvatura es infinito y disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia que se recorre sobre la espiral —la longitud del arco recorrido—, como podemos ver en la imagen anterior; dicho de otra manera, su radio es inversamente proporcional a su longitud. Todas las clotoides son homotéticas (a partir de un punto fijo multiplica todas las distancias por un mismo factor) y se diferencian únicamente en su escala. La curvatura en un punto determinado es proporcional a la distancia de la curva al origen en dicho punto, por ello si se transita sobre ella a velocidad constante, la aceleración angular que genera el cambio de dirección, la aceleración centrípeta, no presenta discontinuidades y resulta más sencillo salvar el trazado de la curva.
En las épocas en las que lo que preocupaba era el exceso de velocidad no había problemas con las curvas que el trazado iba pidiendo. Cuando las máquinas permitieron incrementar esta variable de forma importante, hubo que empezar a buscar curvas de transición para soslayar los problemas de la inercia de manera sencilla y elegante. No obstante, no debemos olvidar el peralte, otro elemento auxiliar de sus trazados que todos los conductores reconocen en las carreteras. Este consiste en una leve inclinación de la curva para dar un poco de peso al vehículo (en realidad es de su propio peso) y junto con el rozamiento de las ruedas con el asfalto proporcionan fuerza centrípeta para que gire el vehículo.
A la luz le gusta la clotoide: difracción de Fresnel
La luz no es un móvil en el sentido de un tipo de mecanismo que cambia su orientación o su posición espacial. Sin embargo, observamos su viaje sirviéndonos de analogías de los elementos de la mecánica.
El desarrollo matemático de esta espiral proviene de las necesidades de la óptica geométrica, ya que describe la geometría de la difracción la luz en el borde de un semiplano (una pantalla opaca) por una ranura angosta iluminada por una onda paralela al semiplano o pantalla, estudio que realizó el físico e ingeniero Auguste Fresnel (1788-1827) y que por ello es conocida como difracción de Fresnel.
Si se observa la distribución de la difracción en un plano, ∑, paralelo, la perturbación óptica en un punto, P, de esta superficie, está representada por el vector CB, donde B y C son los puntos de la espiral relativos a P correspondientes a los bordes de la ranura de la pantalla, L y M. Si el punto P = P0(i) entonces B y C son simétricos con respecto a A que es el punto medio de la espiral (ii). Los puntos B y C se mueven según la clotoide, dependiendo de la distancia de P a P0. La longitud CB representa la amplitud de la perturbación y cambia periódicamente, apareciendo franjas de difracción claras y oscuras cuando se observan en un plano determinado. El trabajo analítico se resume en las integrales de Fresnel, que son funciones trascendentes cuyas paramétricas son funciones angulares que se corresponden con la espiral de Cornu.
[Difracción de Fresnel (i) y clotoide correspondiente (ii)
Otros nombres de la clotoide son espiral de Euler (1707-1783), que la trató cuando estudiaba las espirales logarítmicas, o espiral de Cornu (1841-1902), que la manejó preparando un dispositivo para medir la intensidad de la luz, aunque la datación más antigua sobre su estudiosos se remonta a Johann Bernouilli (1657- 1748) seguramente hacia 1696.
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