En el sistema suizo-alemán, un Privatdozent es una persona autorizada a impartir docencia universitaria. Para conseguir la habilitación, los aspirantes en Gotinga debían escribir una memoria con los resultados de su investigación e impartir una lección frente a un tribunal de profesores.

El tema de la tesis de habilitación de Riemann era sobre la representación de funciones por series trigonométricas, un tema ‘clásico’ en análisis matemático y que Riemann quería aplicar a resolver problemas de física. Riemann trabajó en este tema durante 30 meses, teniendo lista la memoria en otoño de 1853.

Por otro lado, los candidatos debían proponer tres temas para exponer en la lección inaugural. Los tres temas que Riemann propuso fueron (por este orden):

• 1. Representabilidad de una función mediante series trigonométricas.
• 2. Resolución de dos ecuaciones de segundo grado con dos cantidades indeterminadas.
• 3. Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría.

Habitualmente el tribunal solía elegir el primer tema propuesto por el candidato. Sin embargo, Gauss (1777-1855), presidente del tribunal (y también su tutor de tesis doctoral además de su principal mentor), eligió el tercer tema, el que menos preparado tenía. Riemann tuvo que trabajar muy duro durante varios meses, intuyendo que Gauss tenía sus propias ideas sobre el tema y que se discutirían en la lección inaugural.

En aquel año, Gauss estaba delicado de salud y hubo que esperar hasta el 10 de junio de 1854 para impartir esa lección inaugural. Por supuesto, Riemann cumplió con creces su objetivo impartiendo la lección sobre el tema y presentando el texto Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis en la que se basa la geometría); lo que se considera el trabajo de habilitación más importante de la historia de las matemáticas.

En esta investigación, Riemann generalizó los trabajos de Gauss sobre geometría no-euclídea, extendiéndola a espacios multidimensionales, que denominó variedades. El texto mencionado está considerado como un modelo de exposición sencilla de un tema complejo (un área nueva de matemáticas), de manera que todo matemático de formación “normal” lo pudiese entender.

Como es bien conocido, la geometría de Euclides (la que aprendemos en las escuelas) se basa en una serie de definiciones, axiomas y postulados. A partir de ellos se deducen los teoremas. Uno de los postulados, el quinto no era satisfactorio para muchos geómetras durante casi 2.000 años. Este postulado afirma que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este postulado se conoce popularmente como el de las ‘paralelas’; que es el que aprendemos de niños en el colegio (al menos mi generación, a la que aún enseñaban geometría) y que se puede enunciar de otras maneras, y que a mí se lo enseñaron como: ‘dos rectas paralelas no se cortan o se cortan en el infinito’. Muchos matemáticos intentaron demostrar este postulado (es decir, convertirlo en teorema) a partir de los axiomas y los otros postulados, fracasando en el intento.

Sin embargo, estos esfuerzos dieron lugar a otras geometrías igualmente válidas. Las nuevas geometrías se basan en los postulados y axiomas de la geometría de Euclides, excepto el quinto. El primero que se dio cuenta de esto fue Gauss (uno de los cuatro matemáticos más grandes de la historia), pero no se atrevió a publicarlo por miedo a que considerasen que era demasiado radical. Más tarde, de manera independiente Bolyai (1802-1860) y Lobachevsky (1792-1856) redescubrieron los resultados de Gauss.

Posteriormente, cuando los matemáticos estudiaron estas nuevas geometrías, se interpretaron como ‘geometrías geodésicas’ (los caminos más cortos) en superficies curvas. Si la superficie tiene curvatura positiva constante, como en la esfera, la geometría se llama elíptica. Si la curvatura es constante y negativa (con la forma de una silla de montar cerca de cualquier punto) la geometría es hiperbólica. La geometría euclídea es la que tiene curvatura nula (es decir, plana).

Lo que hizo Riemann en su habilitación fue generalizar las geometrías euclídeas en espacios multidimensionales. Por esta razón, se le puede considerar el fundador de una nueva geometría.

Por supuesto, el trabajo de Riemann recibió las mejores críticas, empezando por Gauss.

La idea de Riemann al establecer esta nueva geometría podría explicar la base física del universo. Riemann pensaba que las diferentes fuerzas físicas de la naturaleza (gravitatoria, eléctrica y magnética, las conocidas en su época) eran, en realidad, diferencias en la geometría del universo. Estas ideas son la base de la explicación de la gravedad en la teoría de la relatividad general y fueron una de las inspiraciones de Einstein.

Aunque esta única aportación de Riemann le hubiese hecho merecedor de un puesto destacado en el panteón de la ciencia; hay que recordar que en sus pocos más de 39 años de vida, Riemann trabajó en prácticamente todas las áreas de las matemáticas conocidas en la época, haciendo contribuciones notables en geometría diferencial, geometría no-euclidea, fundamentos del cálculo integral y del análisis matemático, ecuaciones diferenciales, teoría de números, topología y series trigonométricas.

Sin duda, Riemann es un gigante de la ciencia.