Monedas y bellas durmientes

Si lanzamos la moneda muchas veces, más o menos la mitad de las veces nos saldrá cara y el resto de las veces cruz. Y si imaginamos que pudiésemos repetir el experimento un número infinito de veces, entonces exactamente la mitad de las veces habrá salido cara y la otra mitad, cruz. Pero ya sabes que no es posible hacer la repetición de ese experimento infinitas veces, y por eso se utiliza el concepto de probabilidad. Decimos entonces que la moneda tendrá la misma probabilidad de mostrar cara que de mostrar cruz (y para entender mejor lo que viene a continuación, obviaremos el hecho de que la moneda pueda estar trucada o incluso caer de canto), 50% de cada en este caso, algo que se conoce como sucesos equiprobables.

Sí, sí, hasta ahora no te he dicho nada nuevo. Esto ya lo sabías, de hecho, lo sabe todo el mundo. Pero y si te digo que una moneda (no trucada) podría no tener realmente esa probabilidad del 50/50 ¿me creerías? Pues bien, debemos agradecer esta cuestión a un excelente filósofo de la Universidad de Princeton, Adam Elga, que es conocido por haber creado ciertos puzles casi imposibles de resolver, basándose a su vez en el trabajo publicado en 1989 One self: the logic of experience, del célebre filósofo británico Arnold Zuboff. Elga sembró la duda, en el año 2000, sobre si siempre son así las probabilidades de cara y cruz en el lanzamiento de una moneda, planteándolo en forma de cuento infantil: el llamado problema de la bella durmiente.

La situación es en esencia fácil de entender. Imaginemos que conocemos a la bella durmiente y le proponemos que sea el sujeto de un experimento. Ella empezará a dormir un domingo y la despertaremos ya el miércoles siguiente para mandarla de vuelta a su casa. Pero no solo eso, sino que se la despertará también en algún momento del tiempo intermedio entre domingo y miércoles, se la entrevistará y se le borrará la memoria de todo lo sucedido antes de volver a la cama. La manera de decidir cuántas veces se la despertará es la siguiente: el domingo, tras ella haber cogido ya el sueño, lanzaremos una moneda al aire. Si sale cara, la dejamos dormir hasta el martes, realizamos el proceso de entrevista más borrado de memoria, la ponemos a dormir y nos despedimos de ella en cuanto haya despertado el miércoles. Pero, si sale cruz, este mismo proceso se realizará tanto lunes como martes. Es importante destacar que a la bella durmiente está informada de los detalles del experimento y ella sabrá todo lo que se le hará antes de dormirse el domingo, pero durante el experimento no recibirá ningún tipo de información sobre el día que es o lo que ha salido al lanzar la moneda. Hasta aquí todo bien, ¿no? Pues la pregunta que te voy a hacer a continuación te desconcertará bastante… en vista del experimento ¿qué probabilidades dirías que tiene la moneda de dar cara o cruz?

Seguro que estarás pensando…«pues 50/50» ¿verdad? La moneda no está trucada y no caerá de canto… ¿Qué más da quién la lance o con qué finalidad? Pero ahora meteos en la piel de la bella durmiente. ¿Qué diría ella sobre la moneda? ¿Tiene para ella un 50/50 de probabilidades de salir cara o cruz? Aquí viene el meollo de la cuestión y la razón por la que Adam Elga puso en jaque a la comunidad científica y filosófica. Según él, la bella durmiente debería ver que esa moneda tiene una probabilidad del 33,33% de dar cara y del 66.66% de dar cruz.

¡¡¿Cómo?!! Pero ¿es eso posible? Pues fijaos bien. Imaginad que sois la bella durmiente y os echáis a dormir el domingo (en el marco de este experimento). Os despertáis en vuestra cama y nadie viene a vuestra habitación para mandaros a casa… entonces ¿qué podéis pensar? Tenemos varias opciones:

—Es posible que la moneda haya salido cara y hoy es martes.
—Es posible que la moneda haya salido cruz y hoy es lunes.
—Es posible que la moneda haya salido cruz y hoy es martes.

No perdáis de vista que la bella durmiente no tiene información del exterior de la habitación y el borrado de memoria es perfecto, con lo cual no podrá recordar nada de lo sucedido el lunes o martes.

¿Qué está viendo entonces la bella durmiente? Dos situaciones en las que la moneda puede dar cruz y una sola en la que puede dar cara. O sea, lo que hemos dicho, 2/3 frente a 1/3, y eso ya no es un 50%... ¿Cómo puede ser? Pues es en este punto donde entra en juego el concepto de probabilidad subjetiva. Sin haber trucado la moneda ni hecho ningún tipo de trampas sobre el lanzamiento, hemos conseguido imponer una situación que altere la percepción de la bella durmiente sobre las probabilidades de cara y cruz de una moneda. Para ella, si lanzásemos infinitas veces la moneda al aire, solo un tercio de las veces daría cara y dos tercios cruz. Explicándolo en términos un poco más técnicos, este caso es lo que se conoce como «la interpretación de problemas de decisión con memoria imperfecta», y el problema de la bella durmiente ha sido discutido como ejemplo práctico de ello por matemáticos y filósofos. Pero este problema aún no ha sido completamente resuelto y sigue generando debate en la comunidad científica. Existen dos grandes corrientes de opinión: por un lado, quienes piensan que si alteras la memoria o percepción del observador, alteras las probabilidades de un suceso plenamente conocido; y por otro lado están aquellos que defienden que una moneda siempre tendrá el 50% de cara o cruz, por más pronto que se levante la bella durmiente. ¿A qué corriente perteneces ahora tras haber leído esto?

Cabras y coches

La probabilidad subjetiva no solamente surge cuando alteramos la memoria del observador, existen también situaciones en las que el observador no es consciente de que los sucesos en su entorno no son equiprobables. Para entender esto mejor, un ejemplo muy ilustrativo es el problema de Monty Hall.

Monty Hall era un personaje televisivo en EE. UU. que en los años 70 presentaba un concurso llamado Hagamos un trato (Let’s make a deal). Ese concurso, que marcó una era en la televisión americana, premiaba con un coche maravilloso a quien acertara tras cuál de tres puertas cerradas se encontraba. Para complicar más el asunto, tras las otras dos puertas el premio era una cabra. Es decir, tres puertas (dos cabras más un coche) y una decisión que había que tomar a ciegas. Seguramente ya lo estáis pensando: no está tan mal, tenemos un 33.3% de probabilidades de llevarnos un coche, elijamos lo que elijamos. Pues sí, en el momento que empieza el programa los tres sucesos son equiprobables, así que tenemos un 33.3% de llevarnos un coche, 33.3% de llevarnos una cabra, y 33.3% de probabilidades de llevarnos la otra cabra (o sea, un 66.6% de llevarnos una cabra, en general). Supongamos que, por un extraño motivo, queremos llevarnos el coche.

El truco viene ahora. En el momento que el concursante toma una decisión y elije una puerta cualquiera, a ciegas, sin saber lo que habrá tras ella, el presentador hace una jugada maestra: abre una de las dos puertas no elegidas y descubre siempre una de las cabras, para, a continuación, decirle al concursante que vuelva a pensar su decisión y le ofrece dos posibilidades: ¿cambias de puerta o te quedas con tu decisión inicial? Pensadlo bien, ¿qué haríais?... Ahora tenemos dos puertas cerradas. ¿Dará igual si cambiamos o no de decisión? ¿Existe alguna determinación más correcta que otra? Por fortuna, las matemáticas y estadística han dado una respuesta a estas cuestiones.

Si creemos que los sucesos son equiprobables después del descubrimiento de la primera cabra, entonces llegaremos a pensar que coche y cabra son equiprobables al 50%, con lo cual daría igual si nos quedamos con la decisión inicial o pedimos un cambio de puerta, ¿no?... ¡Pues no! Eso es erróneo y si llegamos a esa conclusión es porque no nos hemos percatado de que las probabilidades que tenemos en frente han sido alteradas por la acción de Monty el presentador. Fijaos, hay dos cosas muy relevantes que tendríamos que observar: por un lado, el presentador descubre la primera cabra justo después de nuestra decisión inicial (con lo cual, lo que Monty haga no afecta a tu decisión), y lo segundo importante es que el presentador siempre, siempre, siempre descubrirá una cabra (y nunca el coche) sin abrir jamás la puerta inicialmente escogida por el concursante. Si hubiésemos acertado con el coche en nuestra decisión inicial, Monty podrá abrir cualquiera de las dos puertas, pero si hubiésemos elegido una cabra sin saberlo, el presentador solo tendrá una opción para descubrir. Una vez descubierta esa cabra, automáticamente la probabilidad de esa puerta (recién descubierta) de contener el coche se convierte en cero. ¿Y qué sucede con ese 33.3% que había justo antes de abrirla? ¿Dónde va? Nuestro impulso inicial nos hará pensar que se reparte por igual entre las dos puertas que queden aún cerradas. Pero ya hemos avanzado que esto no es así… Las matemáticas han demostrado que, en todo este conjunto de circunstancias, el 33.3% de probabilidades de éxito que había en esa puerta recién descubierta se suma íntegramente a la tercera puerta, aquella que no han escogido ni el concursante ni el presentador.

Pero ¿por qué? Pues a nivel conceptual hay que percatarse de que el presentador no puede, por norma, descubrir el contenido de nuestra puerta en ningún caso, por lo que si nos mantenemos firmes en nuestra decisión inicial hasta el final del programa, efectivamente tendremos en todo momento un 33.3% de probabilidades de llevarnos el coche (como si nada hubiese sucedido por el camino). Pero ¿y si cambiamos de decisión en el último momento y nos quedamos con la tercera puerta? Pues como hemos dicho, en el momento que Monty hace su jugada, ¡dicha puerta adquiere un 66.6% de probabilidades de tener el coche! ¡El doble de lo que tenía inicialmente! O sea, que ¡nos han alterado las probabilidades de los sucesos delante de nuestra cara sin que nos demos cuenta! Pero claro, no perdamos de vista que estamos hablando en todo momento de probabilidades, y si esto lo experimentamos una sola vez, nos podrá pasar cualquier cosa (pero es más probable que nos llevemos coche si tenemos esto en cuenta). Sin embargo, si repitiésemos este concurso un número infinito de veces, entonces puedo asegurarte que siempre que cambies de decisión en la puerta a última hora, te llevarás el coche el 2 de cada 3 veces. Aunque a lo mejor para ti el mejor premio es la cabra… Así que, igualmente ya sabrías cómo hacer para maximizar las probabilidades de llevarte una.