¿La sentencia que nos proporciona Luca Pacioli nos despista o nos señala por dónde debemos caminar? Para resolver este misterioso dilema, es conveniente leer el texto que sigue.

Quien crea que no hay intriga y emociones novelescas en la vida de los matemáticos se equivoca. Es sorprendente leer algunos de los episodios rocambolescos de la historia matemática del Renacimiento italiano. Por ejemplo, antes de adentrarnos en otros personajes menos conocidos, se puede empezar por leer la biografía de personalidades como Tartaglia y Cardano, y también de otros protagonistas Del Ferro, Ferrari, Del Fiore.

Esta es una curiosa historia científica y humana, que al mismo tiempo está llena de roña, pequeñas miserias, algún que otro episodio equívoco, envidia mezclada con inteligencia, maledicencia, fanfarronería, y quizá también momentos de grandeza del alma, aleccionadores todos de la condición humana y de la alegría de vivir a pesar de todo.

La aventura matemática tiene sus complicaciones conceptuales, pero en el contexto humano es más parecida a una novela policiaca con venganza incluida, porque todos están hartos de todos, de sus manías, rarezas, faltas de honestidad; pero a veces también se puede vislumbrar cierta gracia. La condición humana también se puede contemplar de manera amable.

La peripecia de estos matemáticos del seiscientos significa que la realidad parece imitar a una buena trama policiaca, en un escenario coral con un montón de personajes secundarios que no lo son tanto, con secretos, con misterios, con duelos, y con matemáticas, una ensalada perfecta.

El siglo XV

En este siglo el álgebra era la materia matemática que se iba difundiendo por nuestro continente. Los europeos sentían cada vez más curiosidad por comprenderla y practicarla; así la iban enseñando y difundiendo de unas generaciones a las siguientes; además se iba refinando y mejorando su conocimiento y se empezaron a plantear nuevos problemas, el trabajo de Fibonacci iba mejorando por aportaciones novedosas de los nuevos matemáticos. Sin embargo, había un escollo importante, los problemas que se representaban mediante ecuaciones de tercer grado.

Luca Pacioli también inicialmente había buscado una solución general; pero solo había hallado algunas soluciones particulares y finalmente había desistido de seguir intentándolo, como también había dejado de buscar la cuadratura del círculo. Sin embargo, era cauto y nunca afirmó que fuera imposible encontrar una solución general a las ecuaciones cúbicas.

Scipione del Ferro, profesor en Bolonia, plausiblemente la encontró, y hay que decir que el método que utilizó es el mismo que el actual. La fecha en que logró resolver este misterioso caso también es oscura, la horquilla oscila entre 1505 y 1515. Además, el enigma se agranda porque solo presentó su trabajo a su alumno Del Fiore, y al marido de su hija que le sucedió en la plaza de profesor de matemáticas, un tipo llamado Della Nave, del que tampoco se sabe gran cosa.

Las costumbres académicas eran muy diferentes a las actuales y se producían, retos, fintas y todo tipo de lances, los matemáticos estaban interesados en guardar el secreto de sus hallazgos, no tenían prisa por compartirlos, que por el contrario es lo habitual en el tiempo presente. Los desafíos se debían desarrollar como duelos que se cruzaban entre contrincantes. Tanto misterio y secreto podía proporcionar ganancias a los protagonistas, pero también les hurtaba difusión para la posteridad.

Y si una noche de invierno… se resuelve un problema

Niccolò Fontana el famoso tartamudo, más conocido por su mote (Tartaglia), en su casa veneciana reflexionaba sobre el contenido de unos papeles que no había escrito él y que estaban llenos de problemas de matemáticas; había numerado una treintena. Miraba, leía, releía, pensaba, anotaba en sus hojas en blanco y, como en muchas ocasiones las mentes matemáticas, dibujaba cosas raras o hacía extraños esquemas. Ensimismado atendía la llegada de la musa, estaba convencido de que iba a aparecer.

El febrero era helador, llevaba casi desde el solsticio examinando los documentos que había preparado Antonio María del Fiore, que no era precisamente un amigo. No avanzaba mucho, lo único que veía claro es que tan diversos enunciados se correspondían con un mismo tipo de problema, las distintas situaciones planteadas no parecían ser más que una excusa para mirar cuáles son las cuestiones que leídas matemáticamente son eventos que se describen bien mediante expresiones cúbicas.

El reto estaba a buen recaudo en una notaría, y a punto de caducar. Necesitaba encontrar una manera de abordar estos problemas, que parecían ser siempre el mismo y ya quedaba poco tiempo.

El frío y la humedad de la noche en Venecia dejaban de existir en estos momentos febriles, el esfuerzo eleva el calor y el sudor se tornaba en una desagradable sensación de estar bañándose en la laguna (bueno eso dicen, que yo no lo he probado).

El debate interior le desdoblaba en sus dos personalidades: la estudiosa aprendida de Luca Pacioli (estos problemas del cubo no tienen solución) y la pendenciera de su entorno y forma de vida. Supongamos que debió pensar algo parecido a esto: Del Fiore sabe algo que no sé, «aquí hay gato encerrado» (por expresarlo al estilo castellano).

Tartaglia, el tartamudo, esa noche encontraría la llave que abre la puerta a la solución de esa ecuación y por tanto a la de los tipos de problema que escribe. Intuición que requiere capacidad de ver el problema subyacente en todos los enunciados, razonamiento para ejecutar la búsqueda de la resolución y el resto es leer y escribir.

Bueno contado es simplemente divertido, pero la operación es delicada, plantear bien el problema para, con la habilidad y la intuición matemática, efectuar los cálculos, y esto es lo que hizo. 

Un viajero se encuentra con otro… le reta y pierde la apuesta

Vamos al inicio de la situación, Tartaglia estaba en Venecia desde 1534 y daba clase de aritmética en la iglesia de San Zanipolo (escuela del ábaco), y además hacía algunos buenos trabajos para los ingenieros del Arsenal de Venecia. Del Fiore, por el contrario, llevaba una vida misteriosa y presumía del secreto que tenía sobre la resolución de la ecuación cúbica. Tartaglia, con sus acertados consejos de cálculo matemático a los ingenieros, era respetado en la ciudad.

Y esto llevó al reto, Tartaglia presentó treinta tipos de problemas distintos a Del Fiore, y Del Fiore le planteó treinta enunciados diferentes del mismo problema, es decir para hallar su resultado mediante una ecuación cúbica, sin término cuadrático, que se resolvían por el método secreto que había heredado en custodia. Tartaglia venció, pero no se cobró el premio, la satisfacción parece un buen pago. Y de Del Fiore nunca más se supo.

Cardano vs Tartaglia

El prestigio de Tartaglia iba en aumento, sobre todo por el norte de Italia, y de ello se enteró Cardano que, en 1539, estaba acabando de escribir su Practica Aritmética Generalis, posiblemente con la idea de proporcionar un tratado más moderno y actualizado que el de Pacioli.

Cardano hizo varios intentos para procurarse la manera de conseguir la resolución de la ecuación cúbica, sin término cuadrático, pero se encontró con el muro de Tartaglia, que le envió no sin reticencia pequeñas muestras: un par de problemas de los que le habían sido propuestos a él, y nuevas excusas, que tenía que acabar su libro o cualquier cosa que fuera, o aparentara ser, plausible.

Pero Cardano era pertinaz, y cambió su estrategia, dejó pasar un tiempo y comenzó a abordar a Tartaglia de otro modo: sabiendo de su prestigio entre los ingenieros por sus conocimientos de artillería le invitó a Milán y le presentó a un noble español, el Marqués del Vasto, de una localidad próxima (Vigevano) militar relevante, que participó en la batalla de Pavía al mando de las tropas imperiales. En la casa milanesa de Cardano, Tartaglia intentó dar razones más o menos convincentes para no aportarle información sustanciosa y al mismo tiempo halagarle: estoy trabajando en un libro, pero volveré a abordar este tema… y tú quizá podrías tratarlo dándole otro enfoque y hallando resultados para publicarlos bajo tu autoría.

Cardano con perseverancia le juró que no publicaría más que de modo codificado la información que Tartaglia tuviera a bien proporcionarle y nadie entendería (entonces, para qué nos preguntamos ahora). En resumen, ante tanta solemnidad Tartaglia cedió -no parece muy claro que fuera exclusivamente por el juramento- pero eso es lo que ha quedado.

Episodios de intriga y para la solución completa esperemos a Gauss

Ludovico Ferrari que era un joven y estudioso sirviente en casa de Cardano, y debía andar por allí cuando todo sucedía, transcurrido un tiempo afirmó que la información proporcionada contenía anomalías o no era válida completamente.

Cardano envió una copia de su libro Practica Arithmética a Tartaglia y no había referencias a la dichosa ecuación. Adjuntó una carta donde señalaba más o menos que había estudiado la fórmula y que le parecía interesante. Pero el hecho es que se había encontrado con dificultades para algunos ejemplos en los que obtenía soluciones negativas (resultado impensable en aquel tiempo). Hasta el siglo xix no se avanzó para comprender las soluciones negativas, Karl F. Gauss demostró que “toda ecuación tiene tantas soluciones positivas, negativas o complejas como el grado de la ecuación”, teorema fundamental del álgebra.

Tartaglia no respondió a ninguna de los tres intentos de pregunta que recibió para tratar de obtener alguna información sustancial adicional. Así es que Cardano viajó con Ferrari a Bolonia para intentar que el yerno de Del Ferro, Della Nave, les autorizase a buscar alguna pista en los trabajos de Del Ferro. Cuando estudiaron la documentación, Cardano junto con Ferrari hallaron que los documentos solo contenían la misma información que les había proporcionado Tartaglia.

Así es que Cardano, con los documentos de Del Ferro en mano, ya podía publicar. Tartaglia solo le había informado de los resultados de Del Ferro.

Cuando en 1545 publicó el Ars Magna, explicó las soluciones de Del Ferro, relató que había recibido estas soluciones de manos de Tartaglia y que él mismo nunca se había ocupado directamente de este asunto porque había confiado en Luca Pacioli. También detalló que, con las soluciones de Tartaglia, se había decidido a indagar más porque comprendió que había otras posibilidades y así describió que con la ayuda de su discípulo Ferrari encontró las soluciones que describió, además de las que habían encontrado otros a los que citaba. En realidad, las soluciones halladas por otros se reducían a las de Al-Khwarizmi (tres), y a las de su propio alumno, Ferrari. Además, hizo muchas alusiones bien elegidas, convenientemente elogiosas a la aportación de su amigo Tartaglia, las fórmulas que este le pasó, y extendió el agradecimiento a las pistas que suponían.

 Continúa el enredo: otros personajes… y la venganza

Tartaglia reaccionó publicando tras un año, o sea en 1546, Quesiti et inventioni diversa. Sufragando él mismo los gastos de la edición (las prisas). Aquí un nuevo personaje entró en escena, en realidad nuevo no…, solo un poco extraño; Cardano le había mencionado en su trabajo, se trata de Zuanne di Tonini da Coi. Tartaglia sostuvo un diálogo con este tipo, y parece que mostró su enfado por la supuesta petulancia de Cardano, según la cual él podría haber encontrado las soluciones por sí mismo, sino hubiese mediado su respeto al maestro Pacioli.

Tras un silencioso año apareció un cartel publicado por Ferrari que llegó a todos los matemáticos, en realidad se trataba de una venganza en toda regla, donde se refería a Tartaglia ofendiéndole profesionalmente en varias formas, concluía retándole, ¡que manía de los retos! La personalidad de una época.

Si seguimos indagando no terminan de aparecer reacciones del tipo «y tú más y yo lo sabía primero, y me has engañado», etc., use el lector su imaginación para adecuarlo al estilo renacentista italiano, un poco soberbio y elegante, pero también un poco casposo.

El trío que pasó a la historia

De los protagonistas se sabe que no eran ejemplos de honestidad pura y cristalina ninguno de los dos, tanto Tartaglia como Cardano, siempre que podían, publicaban como si todo lo que escribían fuese fruto de su cosecha y su esfuerzo intelectual, y no era así, al menos totalmente. Pero en su tiempo consiguieron ambos lograr un número de detractores y de seguidores bastante considerable.

En realidad, fue Scipione del Ferro el que encontró un método de resolver las ecuaciones cúbicas (como sabemos desde el inicio de este texto) sin términos cuadráticos y ni Tartaglia ni Cardano que porfiaron con ensañamiento por mostrar que fueron los primeros matemáticos en encontrar los ceros de dichas ecuaciones; si bien seguramente están entre los primeros en entenderlas y/o reinventarlas.

El misterio llevado hasta el último extremo, del Ferro a los ojos de hoy puede parecer algo desconcertante, todo seguramente se entiende mejor en su contexto; él supo por qué no publicó la solución, pero una posibilidad es que fue para despistar a los contrincantes en las competiciones matemáticas que estaban en auge en la época que nos centramos. Nos gustaría saber por qué dejó su resultado en herencia a un discípulo que no era un matemático creativo; quien, cuando insolente se arriesgó, quedó en bastante mal lugar. Quizá eligiera a alguien no muy brillante para que no le hiciera sombra. ¿Qué secreto de carácter importante o de otro tipo quizá personal se llevó a la tumba del Ferro, o tal vez no y solo es un estilo de carácter de una época?, como curiosidad cabe citar que el año en que del Ferro falleció, nació Rafael Bombelli, que inició el uso de los números con signo (negativos y positivos) contribuyendo a su implantación y uso en álgebra.

La historia de la búsqueda de los ceros de las ecuaciones polinómicas está llena de momentos amenos y divertidos, hemos visto un episodio destacado, la mayoría de los matemáticos encuadrados en la época que se fotografía en este escrito eran autodidactas, los que aquí destacamos son los mejores que aportaron conocimiento.

Bibliografía

Argüelles, Rodríguez, J. Historia de la matemática. Akal, Torrejón de Ardoz, 1989

Boyer, C.B. Historia de la matemática. Alianza Editorial (ciencia y tecnología), Madrid, 1999

Martín Casalderrey, F. Cardano y Tartaglia (la aventura de la ecuación cúbica). Nivola, Madrid, 2009