Lagrange nació en Turín (Italia) el 25 de enero de 1736 con el nombre de Giuseppe Luigi Lagrangia, y era el menor de once hermanos de una familia de origen francés.

Estudió en la Universidad de Turín, donde su principal interés era el latín (y no las matemáticas, precisamente). Sin embargo, en 1753 leyó un artículo de Edmond Halley (1656-1742) sobre las aplicaciones del álgebra a la óptica y a la astronomía, y provocó en él que se aficionara a estas ciencias, a las que posteriormente quiso dedicarse. No obstante, los planes de su padre era que siguiera la tradición familiar y convertirse en militar.

La desafortunada situación económica de la familia (los negocios de su padre, que era tesorero del rey de Cerdeña, iban muy mal) fue también su fortuna; pues, para ayudar en la economía familiar, se dedicó a dar clases de matemáticas.

Desde los diecisiete años impartió clases de matemáticas en la Escuela de Artillería de Turín y a los diecinueve fue nombrado profesor titular de la misma. En esa época creó la Academia de Ciencias de Turín y la revista de la academia, Miscellanea turinensia, donde publicó algunos de sus primeros trabajos.

Uno de ellos (en 1755) fue sobre la resolución del problema isoperimétrico. Comunicó sus resultados al gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), que comprobó que la solución aportada por Lagrange era similar a la suya. Aparte de contribuir a resolver un problema que databa de las matemáticas griegas, Lagrange y Euler, independientemente, crearon un nuevo campo de las matemáticas: el cálculo de variaciones. A partir de ese momento, los dos matemáticos mantuvieron una extensa correspondencia científica.

En 1764, Lagrange ganó, por primera vez, el premio de la Academia de Ciencias de París, con un trabajo que explicaba las oscilaciones que presenta el disco de la Luna con respecto a un observador ubicado en la Tierra (libración lunar). Sus investigaciones en mecánica celeste le sirvieron para ganar varias veces este premio; entre ellos, el de 1766 en el que aborda el problema de los tres cuerpos; que, posteriormente, se aplicó para explicar el movimiento de los satélites de Júpiter conocidos como Los Troyanos.

En 1766, Euler abandonó la Academia de Ciencias de Berlín para trasladarse a San Petersburgo y propuso a Lagrange como su sustituto. Siguiendo los consejos del matemático suizo, el rey Federico II de Prusia, invitó a Lagrange, que aceptó y donde permaneció durante veinte años (hasta el fallecimiento de su monarca protector). Su producción científica en esta etapa es impresionante, con alrededor de ciento cincuenta publicaciones en matemáticas, física y astronomía.

Tras su estancia en Berlín, fue invitado por los reyes de España, Nápoles y Francia, aceptando la propuesta de este último (Luis XVI) para incorporarse a la Academia de Ciencias de París. Aparentemente, allí tuvo momentos de melancolía (parece que sufrió depresión en algunas etapas de su vida) y añoranza de Berlín y su producción científica disminuyó; aunque publicó, en 1788, una de las grandes obras de la ciencia: Mécanique analytique, un trabajo en el que sintetizaba todo el conocimiento de mecánica de más de un siglo y que le llevó unos veinticinco años de trabajo.

Con la Revolución Francesa y tras la decapitación de Lavoisier (con el que le unía una amistad), en 1794 pensó en abandonar Francia, pues era extranjero. Sin embargo, los revolucionarios franceses le demostraron gran estima; ofreciéndole, ese mismo año, la Presidencia de la Comisión de Pesas y Medidas que se encargó de elaborar el sistema métrico, tarea que le sacó un poco de su letargo. En 1794, tras un breve paso por la École normale, se incorporó como profesor en la recién creada École polytechnique.

En 1799 fue nombrado senador y conde del Imperio por Napoleón, y cuando Francia se anexionó el Piamonte (la región en la que nació) en 1802, Lagrange se convirtió en francés.

En 1810, Lagrange comenzó a revisar y a actualizar su Mécanique analytique, de la que solo pudo completar alrededor de dos tercios antes de su muerte, que ocurrió en París el 10 de abril de 1813. Solo dos días antes, Napoleón le concedió la Gran Cruz de la Orden Imperial.

Lagrange está enterrado en el Panteón de París, el sitio reservado para las figuras más brillantes de la cultura francesa; aunque Italia sigue reclamando que es italiano.

Cualquiera de las ya mencionadas aportaciones científicas (mecánica celeste, mecánica analítica, cálculo de variaciones) habrían hecho de Lagrange uno de los científicos más importantes de la historia. Pero, aparte de estas, Lagrange hizo contribuciones fundamentales en otros temas, entre los que podemos mencionar la resolución algebraica de ecuaciones —abriendo el camino que continuaron Evariste Galois (1811-1832) y Niels H. Abel (1802-1829)—, teoría de funciones, desarrollos en serie, teoría de ecuaciones diferenciales, teoría de números, propagación del sonido, teoría de las cuerdas vibrantes o el movimiento de rotación de un sólido (con el que anticipa el cálculo matricial) o la reformulación de la mecánica de Newton (conocida como mecánica lagrangiana).