Fractales: patrones ocultos de una naturaleza fragmentaria
Fíjate en las nubes. Bonitas, ¿verdad? Pero también irregulares, inestables, caóticas; difíciles de definir si quisiéramos dibujar su contorno. Y como ellas, hay tantos otros ejemplos en la naturaleza que se caracterizan por tener un aspecto desigual y fragmentario para los que no existía una geometría… Hasta que aparecieron los fractales: objetos geométricos cuya estructura se repite sucesivamente, a escalas cada vez más pequeñas, y que se han convertido en una herramienta con la que explicar y predecir fenómenos complejos, como la evolución de la crisis climática, la formación de las estrellas o el desarrollo de un tumor.
Comienza la entrevista. La primera pregunta parece sencilla, pero esconde en una sola palabra todo un universo de complejidad inagotable: los fractales… ¿Cuál fue el origen de eso?
En ese momento, el matemático Benoît Mandelbrot levanta la vista del suelo y sonríe, atraído por el sonido de una palabra que él mismo creó; como si hasta aquel preciso instante todo hubiera sido ruido de fondo y nada más.
Diecinueve días después de esta entrevista, el conocido como «padre de los fractales» murió a la edad de ochenta y cinco años. Dejaba tras de sí toda una carrera en la que había sido uno de los pioneros en construir una geometría para aquello que no la tenía. Los fractales representaban la forma en la que Mandelbrot contemplaba el mundo: donde los demás tan solo veían ecuaciones, él observaba imágenes; patrones repetitivos que permitían capturar la irregularidad. Porque la naturaleza escondía formas que no podía definir la geometría clásica: «las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, la corteza del árbol no es suave y los rayos no viajan en línea recta».
Los fractales representaban la forma en la que Mandelbrot contemplaba el mundo: donde los demás tan solo veían ecuaciones, él observaba imágenes; patrones repetitivos que permitían capturar la irregularidad
Lo curioso de los fractales es que dibujan formas que a veces están escondidas a simple vista, y una vez que los identificas, ya no puedes dejar de buscarlos. Pero ¿qué son exactamente?
Aunque no es un concepto fácil de definir, los fractales coinciden generalmente en algunas características básicas: presentan autosimilitud, dimensiones fraccionarias y una complejidad infinita.
Esta autosimilitud hace referencia a la conservación de la estructura a diferentes escalas. Es decir, cada parte se asemeja al todo de manera que podemos hacer zoom en la estructura y volver a observar la imagen del conjunto completo. Pensemos en las ramificaciones en el tronco de un árbol, la forma en la que se dividen nuestros vasos sanguíneos o la forma en que divergen nuestros bronquios y bronquiolos en el interior de nuestros pulmones… Todos ellos presentan una aparente irregularidad y, aunque no sean fractales exactos, muestran claramente esta propiedad de autosemejanza.
...cada parte se asemeja al todo de manera que podemos hacer zoom en la estructura y volver a observar la imagen del conjunto completo.
La gran ola de Kanagawa, del pintor Katsushika Hokusai. Mandelbrot consideraba que Hokusai «era fractal». En este ejemplo se observa cómo en la cresta de la ola se encuentran olas de menor tamaño que se repiten una y otra vez. Algo propio de la autosimilitud que caracteriza a los fractales. Fuente: Wikipedia. Créditos: Katsushika Hokusai
Por otro lado, en la geometría clásica o euclídea, los objetos muestran dimensiones enteras: un punto tendría dimensión cero; una recta tendría dimensión uno (en ella podemos calcular longitudes); un triángulo plano tendría dimensión dos (donde podemos determinar áreas) y una esfera tendría dimensión tres (dado que presenta un volumen). Sin embargo, en la naturaleza, la reducción a puntos, líneas y planos parece no ser suficiente para capturar lo intrincado de las formas que dibuja. Cuando se mira con los ojos correctos, la naturaleza devuelve matemáticas, pero en ella el concepto de dimensión adquiere una gran complejidad.
Generación del Copo de Koch. Uno de los primeros objetos fractales descritos es el copo de Koch. Es un ejemplo de fractal puro: se genera matemáticamente sometiendo una figura inicial a una regla básica que se aplica sucesivas veces. En este caso, se parte de un triángulo equilátero. De cada uno de sus lados se quita el fragmento central y se dibuja otro triángulo equilátero. Cada iteración, es decir, cada ciclo de repetición, añade más triángulos. Esto convierte la curva de Koch en una paradoja: a simple vista puede parecer finita, pero matemáticamente, y a medida que nos acercamos a sus picos, observamos que su longitud es infinita y, por tanto, no se puede medir. De hecho, su dimensión no es uno, como tendría una línea, sino un número entre uno y dos. Un verdadero monstruo matemático. Fuente: Wikipedia. Créditos: SolKoll
Cuando se mira con los ojos correctos, la naturaleza devuelve matemáticas, pero en ella el concepto de dimensión adquiere una gran complejidad
Mandelbrot planteó este problema en 1967, en el artículo ¿Cuánto mide la costa de Inglaterra? La longitud medida dependía del tamaño de la regla con la que se hiciera la medición. Cuanto más pequeña, mayor sería el resultado, puesto que podríamos medir aquellos recovecos e irregularidades que con otra de mayor tamaño pasaríamos por alto. De esta forma, la medida de la línea costera crecía sin límite conforme la escala de medida se hacía más pequeña, porque aumentamos el nivel de detalle. ¿Acaso la costa tenía una longitud infinita, como ocurre con el copo de Koch?
Según Mandelbrot, la costa de Gran Bretaña (y, realmente, cualquier costa) no era una línea, sino que se comportaba a nivel geométrico como un fractal. De esta forma, no podría medir su longitud, pero si su «rugosidad». La presencia de todos esos accidentes que describía la silueta de la línea costera podía modelarse usando la dimensión de la curva fractal que mejor se ajustase a su forma. Pero en estos entes matemáticos ocurre que la dimensión deja de ser un número entero, como se ha descrito en las dimensiones ya conocidas (uno, dos o tres dimensiones) y se convierte en un valor fraccionario (dimensiones intermedias).
Antes de que Mandelbrot diese nombre a los fractales, estos eran categorizados como «monstruos matemáticos»: no respondían a la descripción tradicional y su abordaje era extremadamente complejo, pues requería de ciclos de cálculo repetitivos e interminables. Sin embargo, con la aparición de los ordenadores el proceso se simplificaba. Mandelbrot, que desde 1958 trabajaba para IBM, vio rápidamente la utilidad de esta nueva tecnología que lo llevaría a obtener uno de los objetos fractales más reconocidos de la historia: el conjunto de Mandelbrot.
Conjunto de Mandelbrot. Fuente: Wikipedia. Créditos: Danielkwalsh
Pero en estos entes matemáticos ocurre que la dimensión deja de ser un número entero, como se ha descrito en las dimensiones ya conocidas (uno, dos o tres dimensiones) y se convierte en un valor fraccionario (dimensiones intermedias)
Esta imagen tan peculiar, y que se ha convertido en el emblema de los fractales, surge de la representación geométrica de las soluciones dadas a una sencilla ecuación. Cuando dicha ecuación se itera millones de veces, es decir, se repite sucesivamente introduciendo el resultado obtenido en cada etapa de nuevo en la ecuación, aparece esta extraña geometría cuyos picos se ramifican una y otra vez. Un mapa de puntos que dibujan una frontera infinita en la que a veces la imagen observada inicialmente se repite, como si regresaras al punto de partida.
Mandelbrot había encontrado un orden en la irregularidad; una herramienta para interpretar la complejidad aparentemente caótica y azarosa de la naturaleza, que no respondía a una geometría definida por «suaves curvas». Aunque hubo matemáticos que negaron inicialmente la utilidad de la geometría fractal, esta ha resultado ser aplicable en multitud de campos. Los fractales se han llegado a emplear en telecomunicaciones para el diseño de antenas capaces de alcanzar un rango más amplio de frecuencias. También permitieron el avance de las técnicas de animación, haciendo posible, por ejemplo, la creación de paisajes montañosos mediante la repetición de patrones triangulares. Incluso se ha llegado a observar un comportamiento fractal en los latidos de un corazón sano, lo que podría utilizarse para la detección de patologías.
De esta forma, han resultado ser más que «imágenes bonitas que no servían para nada», como llegaron a considerar algunos inicialmente. Aunque, sin duda, los fractales no están exentos de belleza. ¿Quién no se maravilla al descubrir por primera vez la compleja estructura que encierra un diminuto y sencillo copo de nieve?
El tebeo sobre Margarita Salas ya en preventa. ¡Resérvalo!
Referencias:
Documental: Fractales, a la caza de la dimensión oculta (2008)
Deja tu comentario!